Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

2

）=1，若对于x₁、x₂∈（0，+∞），都有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0
（1）求f（1）、f（2）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，可求f（1）；令x=2，y=

1

2

，可求f（2）．
（2）先令x=y=2，求出f（4），将原不等式化为f（-x）+f（3-x）≥f（4）即f[（-x）（3-x）]≥f（4），再由条件得到函数的单调性，注意定义域，得到不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），
可得：f（1×1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0，
又f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)
∵f(

1

2

)=1∴f（2）=-1；
（2）∵f（2×2）=f（2）+f（2），
∴f（4）=2f（2）=-2，
∴f（-x）+f（3-x）≥f（4）
∴

-x＞0 3-x＞0 f[(-x)(3-x)]≥f(4)

，
∵x₁、x₂∈（0，+∞）时

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
∴

-x＞0 3-x＞0 (-x)(3-x)≤4

即

x＜0 x＜3 -1≤x≤4

，
∴-1≤x＜0
∴原不等式的解集为[-1，0）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和应用，注意函数的定义域，同时考查抽象函数值的求法：赋值法，属于中档题．