Question

已知函数f（x）是二次函数，且f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，求：
（1）f（x）的解析式；
（2）f（x）在区间上[-1，1]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，由f（0）=1求出c，然后利用f（x+1）-f（x）=2x，得到a，b，求出解析式；（2）利用（1）中的解析式配方，得到当x=

1

2

时，二次函数取最小值，x=-1时取最大值．

解答： 解：（1）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，由f（0）=1，得c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x，得到
a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，
整理得2ax+a+b=2x
∴a=1，b=-1，
∴f（x）的解析式为f（x）=x²-x+1．
（2）由（1）得f（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

，
∴x∈[-1，1]时，x=

1

2

时，f（x）的最小值为f（

1

2

）=

3

4

；x=-1时，f（x）的最大值为f（-1）=3．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法以及其闭区间上函数值的最值的求法，注意对称轴与区间的位置关系决定最值．