Question

已知函数f（a）=a+

1

a-2

，a∈（2，+∞）；g（b）=

-b2+2b+8

，b∈R．
（1）试比较f（a）与g（b）大小；
（2）若f（a）-1=g（b）成立，求a，b值．

Answer 1

考点：函数最值的应用,根式与分数指数幂的互化及其化简运算,不等式比较大小

专题：函数的性质及应用

分析：（1）判断f（a）的单调性以及g（b）的单调性，求出两个函数的最值，即可比较大小；
（2）利用（1）的结果，直接通过f（a）-1=g（b）成立，利用函数的最值，求a，b值．

解答： 解：（1）设a₁、a₂∈（2，+∞）且a₁＜a₂．
∴f(a1)=a1+

1

a1-2

；f(a2)=a2+

1

a2-2

f(a1)-f(a2)=a1+

1

a1-2

-a2-

1

a2-2

=(a1-a2)+(

1

a1-2

-

1

a2-2

)
=(a1-a2)+[

a2-a1

(a1-2)(a2-2)

]=(a2-a1)[

1-(a1-2)(a2-2)

(a1-2)(a2-2)

]．
∵2＜a₁＜a₂．∴a₂-a₁＞0  a₁-2＞0，a₂-2＞0∴（a₁-2）（a₂-2）＞0
当a₁、a₂∈（2，3）时 
 0＜（a₁-2）（a₂-2）＜1
∴(a2-a1)[

1-(a1-2)(a2-2)

(a1-2)(a2-2)

]＞0
∴f（a₁）-f（a₂）＞0∴f（a₁）＞f（a₂）
∴f(a)=a+

1

a-2

在（2，3）单调递减．
当a₁、a₂∈（3，+∞）时  
 1＜（a₁-2）（a₂-2）
∴(a2-a1)[

1-(a1-2)(a2-2)

(a1-2)(a2-2)

]＜0
∴f（a₁）-f（a₂）＜0∴f（a₁）＜f（a₂）∴f(a)=a+

1

a-2

在（3，+∞）单调递增
∴当x=3时，f(a)=a+

1

a-2

有最小值f(3)=3+

1

3-2

=4
又g(b)=

-b2+2b+8

=

-(b-1)2+9

≤3∴g（b）有最大值g（1）=3
∵g（b）_max=3＜f（a）_min=4
∴f（a）＞g（b）
（2）由（1）问可知：f（a）-1≥3，g（b）≤3；
若使f（a）-1=g（b）成立，
则只有f（a）-1=g（b）=3，
此时a=3，b=1

点评：本题考查函数的最值的求法，单调性的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力．