Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P任作斜率为k₁，k₂的两条直线，分别交抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（P，A，B三点互不相同），
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）若点P为抛物线C的顶点，且直线AB过点（0，

1

a

），求证：k₁•k₂是一个定值；
（3）若点P的坐标为（1，-1），且k₁+k₂=0，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：计算题,证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）抛物线C的方程y=ax²（a＜0）即x²=

1

a

y，由焦点坐标公式，准线方程公式即可；
（2）设出直线AB，联立抛物线方程，消去x或y，运用韦达定理，直线的斜率公式，即可得证；
（3）设出直线PA，PB的方程，联立抛物线方程，消去y，得到x的方程，求出x₁，x₂，从而求出A，B的坐标，向量AP，AB的坐标，由向量的数量积小于0，求出k₁的范围，从而得到y₁的范围．

解答： （1）解：由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）即x²=

1

a

y，得，
焦点坐标为(0，

1

4a

)，准线方程为y=-

1

4a

．         
（2）证明：设直线lAB：y=kx+

1

a

，
联立y=ax²，消去y得ax2-kx-

1

a

=0，
x1•x2=-

1

a2

消去x得； ay2-2y-ky+

1

a

=0，y1•y2=

1

a2

k₁•k2=

y1y2

x1x2

=-1，
故k₁•k₂是一个定值-1；           
（3）解：因为点P（1，-1）在抛物线y=ax²上，
所以a=-1，抛物线方程为y=-x²．
设直线PA：y+1=k₁（x-1），联立y=-x²，得x²+k₁x-k-1=0，
则x₁=-k₁-1，代入y=-x²得y1=-(k1+1)2．
同理可得x₂=k₁-1，代入y=-x²得y2=-(k2+1)2．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1-1，-k12-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)．
于是

AP

=(k1+2，k12+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)，
则

AP

•

AB

=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)．
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0．
求得k₁的取值范围是k₁＜-2或-

1

2

＜k1＜0．又点A的纵坐标y₁满足y1=-(k1+1)2，
故当k₁＜-2时，y₁＜-1；当-

1

2

＜k1＜0时，-1＜y1＜-

1

4

．
即y1∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)．

点评：本题考查抛物线的焦点和准线方程，考查直线方程和抛物线方程联立，消去一个未知数，运用韦达定理解题，同时考查运用向量的方法，解决角的问题，属于中档题．