Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）当a=0时，判断函数f（x）的奇偶性；    
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把a=0代入函数解析式，取特值验证函数为非奇非偶函数；
（2）分x≥a和x＜a两种情况化简函数解析式，利用二次函数的性质求其最小值，最后求最小值中的最小者．

解答： 解：（1）a=0时，f（x）=2x²+x|x|，
∵f（-1）=1，f（1）=3，故f（x）为非奇非偶函数；
（2）当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，f(x)min=

f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0

=

2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

；
当x＜a时，f（x）=x²+2ax-a²，f(x)min=

f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0

=

-2a2，a≥0 2a2，a＜0

．
综上，f(x)min=

-2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了分段函数最值的求法，是中档题．