Question

如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，M、N分别是DA、BC上的点，且MN∥AB，现沿MN折起，使平面DCNM⊥平面ABNM．
（1）求证平面ADC⊥面AMD；（4分）
（2）设AM=x（0＜x＜1），MN到平面ADC的距离为y，试用x表示y；（6分）
（3）点M是中点时，y值是多少？（2分）

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得MN⊥AM，MN⊥DM，从而CD⊥平面AMD，由此能证明平面ADC⊥平面AMD．
（2）由MN∥CD，得MN∥平面ADC，故点M到平面ADC的距离即为点N到平面ADC的距离，MH为所求距离，由此能示出y=MH=

AM•DM

AD

=

x(1-x)

x2(1-x2)

，（0＜x＜1）．
（3）由y=

x(1-x)

x2+(1-x2)

≤

2

4

，当且仅当x=

1

2

时，ymax=

2

4

，此时M为AD的中点．

解答： （1）证明：如图，∵折前ABCD是正方形，且MN∥AB∥CD，
∴MN⊥AM，MN⊥DM．（1分）
即CD⊥AM，CD⊥DM，（2分）
AM?平面AMD，DM?平面AMD，AM∩DM=M，
∴CD⊥平面AMD．（3分）
又∵CD?平面ADC，
∴平面ADC⊥平面AMD．（5分）
（2）解：∵MN∥CD，∴MN∥平面ADC，
故点M到平面ADC的距离即为点N到平面ADC的距离．（6分）
过M作MH⊥AD于H．
∵平面ADC⊥平面AMD，
∴MH⊥平面ADC，即MH为所求距离．    （8分）
在Rt△AMD中，
y=MH=

AM•DM

AD

=

x(1-x)

x2(1-x2)

，（0＜x＜1）．（10分）
（3）解：由（2）得 y=

x(1-x)

x2+(1-x2)

≤

x(1-x)

2x(1-x)

=

2

2

•

x+1-x

2

=

2

4

，（12分）
当且仅当x=1-x，即x=

1

2

时，ymax=

2

4

，此时M为AD的中点．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查函数表达式的求法，考查点M是中点时，y值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．