Question

已知x_n是函数f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．
（1）证明：

1

2

＜x_n+1＜x_n＜1；
（2）证明：

x1+x2+…+xn

n

＜

1

2

．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,函数零点的判定定理,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，证明f（x）在（0，+∞）上是增函数，利用f（1）=n-1＞0，f（

1

2

）=1-(

1

2

)n＜0，可得f（x）在（

1

2

，1）内有唯一零点，利用反证法证明x_n+1＜x_n；
（3）原不等式等价于x₂+x₃+…+x_n＜

n

2

，证明x_n＜

1

2

+(

1

2

)n，即可得出结论．

解答： 证明：（1）∵f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1，
∴f′（x）=nx^n-1+（n-1）x^n-2+…+2x+1，
∵x＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（1）=n-1＞0，f（

1

2

）=1-(

1

2

)n＜0，
∴f（x）在（

1

2

，1）内有唯一零点，
∴

1

2

＜x_n＜1，
假设：x_n+1≥x_n，
∴x_n+1ⁿ⁺¹+x_n+1ⁿ+x^n-2+…+x_n+1-1＞x_nⁿ+x_n^n-1+x_n^n-2+…+x_n-1，
∴f（x_n+1）＞f（x_n），
即0＞0，矛盾，
∴x_n+1＜x_n，
∴

1

2

＜x_n+1＜x_n＜1；
（2）原不等式等价于x₂+x₃+…+x_n＜

n

2

，
∵|f（x_n）-f（

1

2

）|=|x_nⁿ+x_n^n-1+x_n^n-2+…+x_n-1-(

1

2

）ⁿ-…-

1

2

+1|＞x_n-

1

2

f（x_n）=0，f（

1

2

）=-(

1

2

)n，
∴x_n＜

1

2

+(

1

2

)n，
∴x₁+x₂+…+x_n＜

n-1

2

+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

n-1

2

+

1

2

-(

1

2

)n＜

n

2

∴

x1+x2+…+xn

n

＜

1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．