Question

4．已知△ABC的三个内角为A，B，C，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，-sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA），满足$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosC．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若AC=$\sqrt{3}$，BC=6，P是△ABC内的一点，且∠APC=∠BPC=120°，设∠PAC=α，求tanα．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cosC得A，B，C之间的关系，使用两角和的余弦公式即可得出cosC=0；
（2）用α表示出∠PBC，分别在△APC和△BPC中使用正弦定理得出PC，即可列出关于α的方程，得出tanα．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cosC，即cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=cosC，
∴cosC=0，∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵∠APC=∠BPC=120°，
∴∠PCA=60°-α，∠BCP=90°-∠PCA=30°+α，
∴∠PBC=60°-∠PCB=30°-α．
在△PAC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠APC}=\frac{PC}{sinα}$，即$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{PC}{sinα}$，∴PC=2sinα．
在△BPC中，由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠BPC}=\frac{PC}{sin∠PBC}$，即$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{PC}{sin（30°-α）}$，∴PC=4$\sqrt{3}$sin（30°-α）．
∴sinα=2$\sqrt{3}$sin（30°-α）=$\sqrt{3}$cosα-3sinα，
∴4sinα=$\sqrt{3}$cosα，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，属于中档题．