Question

4．已知圆N：（x+2）²+y²=8和抛物线C：y²=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．
（1）当切线l的斜率为1时．求线段AB的长；
（2）设点M（0，-2），当切线l的斜率为-1时，求证：MA⊥MB．

Answer 1

分析 （1）圆N的圆心N为（-2，0），半径r=2$\sqrt{2}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l的方程，利用直线l是圆N的切线，求得m的值，从而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长|AB|；
（2）先求出直线l的方程，再代入抛物线方程，消去x得y²+2y-4=0．证明$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0即可．

解答 解：因为圆N：（x+2）²+y²=8，所以圆心N为（-2，0），半径r=2$\sqrt{2}$，…（1分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）当直线l的斜率为1时，设l的方程为y=x+m即x-y+m=0
因为直线l是圆N的切线，所以$\frac{|-2+m|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得m=-2或m=6（舍），此时直线l的方程为y=x-2，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$消去x得y²-2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=2，y₁y₂=-4，…（4分）
所以弦长|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{10}$…（6分）
（2）当直线l的斜率为-1时，设l的方程为y=-x+b即x+y-b=0
因为直线l是圆N的切线，所以$\frac{|-2-b|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得b=2或b=-6（舍），此时直线l的方程为y=-x+2
代入抛物线方程，消去x得y²+2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=-2，y₁y₂=-4，…（9分）
所以$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁，y₁+2）•（x₂，y₂+2）=2y₁y₂+8=0，
所以MA⊥MB．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，正确运用韦达定理．