Question

12．设函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，x∈R，a为常数；已知f（x）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若对任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出a的值，检验即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性得到m≥$\frac{1}{{2}^{t-1}}$-1，t∈[1，2]，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）由f（0）=0得：a=1，
当a=1时，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
于是f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-f（x），
故f（x）是奇函数；
证明：（2）对任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{•2}^{{x}_{1}}（1{-2}^{{x}_{2}{-x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＞0，1-${2}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
由定义知：f（x）是R上的增函数；
解：（3）∵f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0，
∴f（m•2^t-2）≥-f（2^t）=f（-2^t），
由（2），f（x）是增函数，m•2^t-2≥-2^t，
即m≥$\frac{1}{{2}^{t-1}}$-1，t∈[1，2]，
∴m≥0，所以实数m的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，是一道中档题．