Question

已知函数f（x）=sin2x-cos2x
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅲ）若f（α）=

3

4

，求sin4α的值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的化简求值,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）运用两角差的正弦公式，由周期公式即可计算得到；
（Ⅱ）运用正弦函数的单调增区间，解不等式，再由k=0，1，即可求得在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅲ）运用平方法，结合二倍角的正弦公式，计算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2x-cos2x=

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）
=

2

sin（2x-

π

4

），
即有函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
k=0时，-

π

8

≤x≤

3π

8

，k=1时，

7π

8

≤x≤

11π

8

，
则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，

3π

8

]，[

7π

8

，π]；
（Ⅲ）若f（α）=

3

4

，则sin2α-cos2α=

3

4

，
两边平方可得sin²2α+cos²2α-2sin2αcos2α=

9

16

，
即有1-sin4α=

9

16

，
则有sin4α=

7

16

．

点评：本题考查正弦函数的周期和单调区间，考查两角差的正弦公式的运用，考查二倍角公式的运用，考查运算能力，属于基础题．