Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣lnx．
（1）若f（x）在x=3处取得极值，求实数a的值；
（2）若f（x）≥5﹣3x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）定义域为（0，+∞）， ．

由f'（3）=0，得a=﹣3．

当a=﹣3时，由f'（x）＞0，得0＜x＜3，由f'（x）＜0，得x＞3，

∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，

即f（x）在x=3处取得极大值，符合题意，则实数a=﹣3；

（2）解：设 ，则当x＞0时，g（x）≥0恒成立，由g（1）=a﹣2≥0，得a≥2， ，

方程g'（x）=0有一负根x1和一正根x2，x1＜0＜x2．其中x1不在函数定义域内，

∴g（x）在（0，x2）上是减函数，在（x2，+∞）上是增函数，即g（x）在定义域上的最小值为g（x2），

依题意只需g（x2）≥0，即 ，

又∵ ，

∴ ，∵ ，∴ ，

∴g（x2）=3x2﹣1﹣lnx2+3x2﹣5≥0，即6x2﹣6﹣lnx2≥0．

令h（x）=6x﹣6﹣lnx，则 ，

当 时，h′（x）＞0，

∴h（x）是增函数．

又∵h（1）=0，

∴6x2﹣6﹣lnx2≥0的解集为[1，+∞），即x2≥1，

∴ ，即a的取值范围是[2，+∞）

【解析】（1）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=3处取得极值，则f′（3）=0，求出a的值，然后验证即可；（2）设 ，然后利用导数研究该函数的最小值，使得最小值大于等于0，从而可求出a的取值范围．
【考点精析】掌握函数的极值是解答本题的根本，需要知道极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．