Question

9．函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的图象经过点A（4，16），函数g（x）=x²+2x+b（b＞0）．
（1）写出函数y=f（x）的解析式；
（2）设x∈[-1，0]时，f（x）＞g（x），请写出b的取值范围；
（3）设函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x），若当x＞0时，函数y=f^-1（x）与y=g（x）至少有一个函数的函数值为正实数，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入f（x）求出a即可；
（2）分离参数得b＜2^x-x²-2x，利用导数判断右侧函数的单调性得出其最小值即可得出b的范围；
（2）由f^-1（x）≤0在（0，1]恒成立可得g（x）＞0在（0，1]上恒成立，根据g（x）的单调性得出g（0）≥0即可．

解答 解：（1）∵f（x）的图象经过点A（4，16），∴a⁴=16，a=2．
∴f（x）=2^x．
（2）∵f（x）＞g（x），即2^x＞x²+2x+b，
∴b＜2^x-x²-2x，
令h（x）=2^x-x²-2x，则h′（x）=2^xln2-2x-2，h″（x）=2^x（ln2）²-2．
令h″（x）=0得x=log₂$\frac{2}{（ln2）^{2}}$，
∵0＜ln2＜1，∴log₂$\frac{2}{（ln2）^{2}}$＞1，
∴当x∈[-1，0]时，h″（x）＜0，∴h′（x）在[-1，0]上是减函数，
∵h′（-1）=$\frac{1}{2}$ln2＞0，h′（0）=ln2-2＜0，
∴存在x₀∈（-1，0），使得当-1＜x＜x₀时，h′（x）＞0，当x₀＜x＜0时，h′（x）＜0．
∴h（x）在[-1，x₀）上单调递增，在（x₀，0]上单调递减，
∵h（-1）=$\frac{3}{2}$，h（0）=1，∴h_min（x）=1．
∴b＜1，又b＞0，
∴b的取值范围是（0，1）．
（3）f^-1（x）=log₂x，∴当0＜x≤1时，f^-1（x）≤0，当x＞1时，f^-1（x）＞0．
∵当x＞0时，函数y=f^-1（x）与y=g（x）至少有一个函数的函数值为正实数，
∴g（x）＞0在（0，1]上恒成立．
∵g（x）=x²+2x+b在（0，1]上是增函数，∴g（0）≥0，
∴b≥0，又b≠0，
∴b的取值范围是（0，+∞）．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．