Question

18．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．
（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望及方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是$\frac{1}{3}$，由此利用对立事件概率计算公式能求出这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率．
（Ⅱ） X的可能取值为0，1，2，3，4，且$X～B（4，\frac{1}{3}）$，由此能求出X的分布列和数学期望及方差．

解答 解：（Ⅰ） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是$\frac{1}{3}$，
则$P（A）=1-P（\overline A）=1-{（{\frac{2}{3}}）^4}=\frac{65}{81}$． …．（4分）
（Ⅱ） X的可能取值为0，1，2，3，4，
由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为$\frac{1}{3}$，且每个人下电梯互不影响，
所以，$X～B（4，\frac{1}{3}）$，
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

∵X～B（4，$\frac{1}{3}$），
∴$E（X）=4×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．
 $D（X）=4×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{9}$…．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．