Question

4．若${（{1+mx}）^6}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_6}{x^6}$，且a₁-a₂+a₃-a₄+a₅-a₆=-63，则实数m的值为3或-1．

Answer 1

分析 在所给的等式中，令x=0，可得a₀=1．再令x=-1，可得a₀-a₁+a₂ -a₃ +a₄ -a₅ +a₆=（1-m）⁶．再根据a₁-a₂+a₃-a₄+a₅-a₆=-63，求得 （1-m）⁶=64，由此求得m的值．

解答 解：∵${（{1+mx}）^6}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_6}{x^6}$，令x=0，可得a₀=1．
再令x=-1，可得a₀-a₁+a₂ -a₃ +a₄ -a₅ +a₆=（1-m）⁶．
∵a₁-a₂+a₃-a₄+a₅-a₆=-63，两边同时乘以-1，可得-a₁+a₂ -a₃ +a₄ -a₅ +a₆=63，
∴a₀-a₁+a₂ -a₃ +a₄ -a₅ +a₆=64，即 （1-m）⁶=64，∴1-m=±2，∴m=3，或m=-1．
故答案为：3或-1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．