Question

14．在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=kt}\end{array}\right.$，（t为参数），直线l₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+m}\\{y=\frac{m}{k}}\end{array}\right.$，（m为参数）．设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l₃：ρ（cosθ+sinθ）-$\sqrt{2}$=0，M为l₃与C的交点，求M的极径．

Answer 1

分析 解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l₁与直线l₂的普通方程为y=k（x-2）①与x=-2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x²-y²=4；
（2）将l₃的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）-$\sqrt{2}$=0化为普通方程：x+y-$\sqrt{2}$=0，再与曲线C的方程联立，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，即可求得l₃与C的交点M的极径为ρ=$\sqrt{5}$．

解答 解：（1）∵直线l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=kt}\end{array}\right.$，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l₁的普通方程为：y=k（x-2）①；
又直线l₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+m}\\{y=\frac{m}{k}}\end{array}\right.$，（m为参数），
同理可得，直线l₂的普通方程为：x=-2+ky②；
联立①②，消去k得：x²-y²=4，即C的普通方程为x²-y²=4（x≠±2）；
（2）∵l₃的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）-$\sqrt{2}$=0，
∴其普通方程为：x+y-$\sqrt{2}$=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\sqrt{2}}\\{{x}^{2}{-y}^{2}=4}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴ρ²=x²+y²=$\frac{18}{4}$+$\frac{2}{4}$=5．
∴l₃与C的交点M的极径为ρ=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．