Question

6．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=$\sqrt{3}$DC．
（1）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（2）若BD=2DC，且AD=3$\sqrt{2}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求出sin∠ADC的值，进而求出∠ADC的度数，即可求出∠B的度数；
（2）设DC=x，表示出BD，BC，以及AC，利用同角三角函数间的基本关系及余弦定理求出x的值，确定出DC的长即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{DC}{sin∠DAC}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$，
由题意得：sin∠ADC=$\sqrt{3}$sin∠DAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠B=60°；
（2）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABC中，sinB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=$\sqrt{6}$x，
∴cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在△ABD中，由余弦定理得：（3$\sqrt{2}$）²=6x²+4x²-2×$\sqrt{6}$x×2x×$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得：x=3，
则DC=3．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．