Question

20．已知实数a，b，c，d满足，b=a-2e^a，c+d=4，其中e是自然对数的底数，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 18
• C． 20
• D． 22

Answer 1

分析 所求表达式的最值，看作已知直线上的点与函数的图象上的点的距离的平方，求出函数的导数，利用导数值与已知直线斜率相等，转化为平行线之间的距离的最值的平方即可．

解答 解：（a-c）²+（b-d）²看作直线上的点（c，d）与函数的图象的点（a，b）的距离的平方，
转化为平行线之间的距离的平方．
d=4-c的斜率是-1，
由b=a-2e^a，可得b′=1-2e^a=-1，解得a=0．当a=0时，b=-2，
d=4-c看作直线y=4-x，
过切点（0，-2）的直线且与直线y=4-x平行的切线方程为y=-x-2．
由平行线的距离公式可得d=$\frac{|4-（-2）|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（3$\sqrt{2}$）²=18．
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的应用，直线与函数的图象的转化，平行直线间的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．