Question

5．设抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的最小值为2，若点P为抛物线E上任意一点，A（4，1），则|PA|+|PF|的最小值为（　　）

• A． 4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 7
• C． 6
• D． 4+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出抛物线的标准方程，得焦点F的坐标，再设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．

解答 解：由题意，|MF|的最小值为2，
∴$\frac{p}{2}$=2，
∴p=4，
∴抛物线E：y²=8x，
抛物线y²=8x的焦点F的坐标是（2，0 ）；
设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为4-（-2）=6，
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．