Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

（I）证明PA⊥平面ABCD；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.

Answer 1

（Ⅰ）证明  因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB²   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

（Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，

则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

又PE : ED=2 : 1，所以

从而    

（Ⅲ）解法一  以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设点F是棱PC上的点，则

       令   得

解得      即 时，

亦即，F是PC的中点时，、、共面.

又  BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.

解法二  ：当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，

证法一  取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.  ①

由   知E是MD的中点.

连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

所以  BM//OE.  ②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

证法二

因为 

         

所以  、、共面.

又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.

解法三：过点B作平面BFM平行于平面EAC，依次交PC、PD于点F、M，则点F为所求，再证明点F为PC的中点。