Question

已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)
① mx²－4x＋4＝0,
② x²－4mx＋4m²－4m－5＝0，求方程①和②都有整数解的充要条件.

Answer 1

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解析试题分析：(1)判定是的什么条件，需要从两方面去理解：一是由条件能否推得；二是由条件能否推得.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可以利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；（2)判断充要条件的方法：（1）定义法：直接判断若则、若则的真假；（2）等价法：利用与，
与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法；（3）利用集合间的包含关系判断：若，则是的充分条件或是的必要条件，若，则是的充要条件.
试题解析：解：方程①有实根的充要条件是解得m1.
方程②有实根的充要条件是，
解得
故m=－1或m=0或m=1.
当m=－1时，①方程无整数解.
当m=0时，②无整数解；
当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.
∴①②都有整数解的充要条件是m=1
考点：充要条件的探索.