Question

如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1．
（Ⅰ）证明DA⊥EF；
（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出DA⊥AB，从而得到DA⊥平面ABEF，由此能求出DA⊥EF．
（Ⅱ）以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面DCE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠DAB=90°，∴DA⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴DA⊥平面ABEF，
∵EF?平面ABEF，∴DA⊥EF．
（Ⅱ）DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，
以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，
∴B（0，2，0），E（2，2，0），D（0，0，2），C（0，2，1），
∴

DE

=(2，2，-2)，

DC

=(0，2，-1)，
设平面DCE的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DE =x+y-z=0 2x-z=0

，
令x=1，得平面DCE的一个法向量

n

=(1，1，2)，
又

BE

=(2，0，0)，
cos＜

BE

，

n

＞=

2

6 ×2

=

6

6

，
∴直线BE与平面DCE所成角的正弦值为

6

6

．

点评：本题考查立体几何中的线面关系、空间角、空间向量等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．