Question

已知实数x，y满足sinx+siny=1，求cosx+cosy的最大值和最小值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：利用完全平方公式化简（sinx+siny）²+（cosx+cosy）²，并利用同角三角函数间基本关系及两角和与差的余弦函数公式变形，把sinx+siny的值代入，根据余弦函数的值域确定出（cosx+cosy）²的范围，即可求出cosx+cosy的．

解答： 解：（sinx+siny）²+（cosx+cosy）²=sin²x+2sinxsiny+sin²y+cos²x+2cosxcosy+cos²y=2+2cos（x-y），
将sinx+siny=1代入得：1+（cosx+cosy）²=2+2cos（x-y），
即（cosx+cosy）²=1+2cos（x-y）≤1+2×1=3，
∵-1≤cos（x-y）≤1，
∴-1≤1+2cos（x-y）≤3，
∴0≤（cosx+cosy）²≤3，
解得：-

3

≤cosx+cosy≤

3

，
则cosx+cosy的最大值和最小值分别为

3

，-

3

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．