Question

若x，y∈R，且满足y=

1

2

x²，求证：log₂（2^x+2^y）＞

3

4

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由x+y=x+

1

2

x2=

1

2

(x+1)2-

1

2

，得x+y的最小值为-

1

2

，从而2^x+2^y≥2

2x+y

＞2

2- 1 2

=2

3

4

，由此能证明log₂（2^x+2^y）＞

3

4

．

解答： 解：∵x，y∈R，且满足y=

1

2

x²，
∴x+y=x+

1

2

x2=

1

2

(x+1)2-

1

2

，
∴x+y的最小值为-

1

2

，
当且仅当x=-1，y=

1

2

时，x+y取最小值，
∴2^x+2^y≥2

2x+y

＞2

2- 1 2

=2

3

4

，
∴log₂（2^x+2^y）＞

3

4

．

点评：本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．