Question

已知集合P={x|

1

2

≤x≤3}，函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定义域为Q．
（1）若实数a=-

3

2

，则P∩Q=

 

；
（2）若实数a＜-6，则P∩Q=

 

．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：（1）把a=-

3

2

代入不等式ax²-2x+2＞0，求解不等式得集合Q，然后取交集得答案；
（2）设函数g（x）=ax²-2x+2，由a得范围可知其对称轴的位置，再由二次函数的图象开口向下，结合x=

1

2

时函数g（x）的值小于0，可知集合Q的右端点小于

1

2

，由此得到P∩Q=∅．

解答： 解：（1）由函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定义域为Q，a=-

3

2

，
得Q={x|ax²-2x+2＞0}={x|-

3

2

x2-2x+2＞0}={x|-2＜x＜

2

3

}．
∴P∩Q={x|

1

2

≤x≤3}∩{x|-2＜x＜

2

3

}=[

1

2

，

2

3

）．
故答案为：[

1

2

，

2

3

）；
（2）P={x|

1

2

≤x≤3}，
∵a＜-6，
∴函数g（x）=ax²-2x+2的图象开口向下，对称轴方程为x=

1

a

∈(-

1

6

，0)，
而g(

1

2

)=

a

4

+1＜-

6

4

+1=-

1

2

，
∴集合Q的右端点小于

1

2

，
则P∩Q=∅．
故答案为：∅．

点评：本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，训练了利用“三个二次”的结合分析不等式的解集问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．