Question

1．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，-3）和（0，3），且椭圆经过点  （0，4），求
（1）该椭圆的标准方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为$\frac{4}{5}$的直线被C所截线段的中点坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=3，则过（0，4），则b=4，由a²=b²+c²=25，即可求得椭圆的标准方程；
（3）由题意设直线方程为y=$\frac{4}{5}$（x-3），代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=3，由中点坐标公式可知：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，代入直线方程求得y=$\frac{6}{5}$，即可求得直线被C所截线段的中点坐标．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆焦点为（0，-3）和（0，3），可知椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=3，
由题意可知：椭圆经过点（0，4），即点（0，4）为椭圆的上顶点，
即b=4，
由a²=b²+c²=25，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）依题意可得，直线方程为y=$\frac{4}{5}$（x-3），设直线被C所截线段的中点坐标P（x，y）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=\frac{4}{5}（x-3）}\end{array}\right.$，整理得x²-3x-8=0；
设直线与椭圆的两个交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由韦达定理得：x₁+x₂=3，
∴中点横坐标为x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，代入直线方程得y=$\frac{4}{5}$（$\frac{3}{2}$-3）=-$\frac{6}{5}$，
∴中点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．