Question

设数列{a_n}为等比数列，且a₁+a₂=3，a₄+a₅=24
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₂a_n+1，设{

1

bnbn+1

}的前n项和为S_n，若S_n=

2014

2015

，求n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出；
（2）b_n=log₂a_n+1=log22n=n．可得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解 （1）设数列{a_n}的公比为q，由a₁+a₂=3，a₄+a₅=24，
∴24=q³（a₁+a₂）=3q³，解得q=2．
代入a₁+a₂=3，可得a₁+2a₁=3，解得a₁=1，
∴数列数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1．
（2）b_n=log₂a_n+1=log22n=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴其前n项和为S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∵S_n=

2014

2015

，
∴

n

n+1

=

2014

2015

，
解得n=2014．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了计算能力，属于基础题．