Question

坐标系xOy中，已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的其中一个顶点坐标为B（0，1），且点P（-

6

2

，

1

2

）在C₁上．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）若直线l：y=kx+m与椭圆C₁交于M，N且k_OM+k_ON=4k，求证：m²为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）根据条件求出a，b即可求椭圆C₁的方程；
（II）联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用斜率公式进行求解证明即可．

解答： 解：（Ⅰ） 由题意，椭圆C₁的右顶点坐标为B（0，1），所以b=1，…（2分）
点P(-

6

2

，-

1

2

)代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

1

a2

=

1

2

，即a=

2

．…（4分）
所以椭圆C₁的方程为

x2

2

+y2=1． …（5分）
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+m，…（6分）
得

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，（*）…（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由（*）式得x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1•x2=

2m2-2

1+2k2

…（8分）
kOM+kON=

y1

x1

+

y2

x2

=

kx1+m

x1

+

kx2+m

x2

=2k+

m(x1+x2)

x1x2

．…（9分）
代入并整理得kOM+kON=2k-

4km2

2m2-2

=4k…（10分）
可得m2=

1

2

经验证满足△＞0，…（12分）
∴m2=

1

2

．…（13分）

点评：本题主要考查椭圆方程的应用以及直线和圆的位置关系，联立直线方程进行削元转化为一元二次方程是解决本题的关键．