Question

已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx-1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=

5

，求k的值．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标联立方程组求得D，E，F的值，则圆的方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆M的圆心为（2，-1），半径为

5

，结合弦长求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得k的值．

解答： 解：（Ⅰ）设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵点A（0，0），B（4，0），C（3，1）在圆M上，则

F=0 42+4D+F=0 32+12+3D+E+F=0

，
解得：D=-4，E=2，F=0．
∴△ABC外接圆的方程为x²+y²-4x+2y=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）圆M的圆心为（2，-1），半径为

5

．
又|PQ|=

5

，∴圆M的圆心到直线y=kx-1的距离为

15

2

．
∴

|2k|

1+k2

=

15

2

，
解得：k²=15，k=±

15

．

点评：本题考查了圆的一般式方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．