Question

6．已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图的茎叶图．

（1）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；
（2）为了估计池塘中鱼的总重量，现按照（1）中的比例对100条鱼进行称重，根据称重鱼的重量介于[0，4.5]（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0，0.5），第二组[0.5，1），…，第九组[4，4.5]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
①估汁池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克）的条数；
②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数也比第三组多7条，请将频率分布直方图补充完整；
③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数及池塘中鱼的总重量．

Answer 1

分析 （1）根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80，20．由题意知，求出池塘中鱼的总数目，由此能求出估计鲤鱼数目和鲫鱼数目．
（2）①根据题意，结合直方图能求出池塘中鱼的重量在3千克以上的条数．
②设第二组鱼的条数为x，则第三、四组鱼的条数分别为x+7、x+14，由此能求出第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，从而将频率分布直方图补充完整．
③由频率分布直方图能求出众数和平均数，从而得到鱼的总重量．

解答 解：（1）根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80，20．
由题意知，池塘中鱼的总数目为1 000÷$\frac{80+20}{2000}$=20 000（条），
则估计鲤鱼数目为20 000×$\frac{80}{100}$=16 000（条）
鲫鱼数目为20 000-16 000=4 000（条）．
（2）①根据题意，结合直方图可知，
池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克0的条数约为20 000×（0.12+0.08+0.04）×0.5=2 400（条）．
②设第二组鱼的条数为x，则第三、四组鱼的条数分别为x+7，x+14，
则有x+x+7+x+14=100×（1-0.55），解得x=8，
故第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，
它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别为0.16，0.30，0.44，
据此可将频率分布直方图补充完整（如图）．
③众数为2.25千克，
平均数为0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+…+4.25×0.02=2.02（千克），
所以鱼的总重量为2.02×20 000=40 400（千克）．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．