Question

16．函数f（x）=1g[（1-x）（x-3a-1）]的定义域为集合A．
（1）设函数y=x²-2x+3（0≤x≤3）的值域为集合B，若A∩B=B，求实数a的取值范围；
（2）设集合B={x|（x-a）（x-a²-1）＜0），是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据对数函数的定义域得到集合A．
（1）因为函数g（x）的真数大于0的x一定存在，所以集合B非空，要使B是A的子集，分两类情况列式计算．
（2）根据A=B求得a的值，再验证集合A、B是否满足元素的互异性．

解答 解：由题意得A={x|-x²+（3a+2）x-3a-1＞0}={（x-1）（x-3a-1）＜0}．
（1）∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2（0≤x≤3），
∴当x=1时，y_最小值=2；
当x=3时，y_最大值=6，
则B=[2，6]．
∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴3a+1＞6，
解得a＞$\frac{5}{3}$，
∴实数a的取值范围是（$\frac{5}{3}$，+∞）．
（2）∵a＜a²+1，
∴B={x|a＜x＜a²+1}，
①若1＜3a+1即a＞0时，A={x|1＜x＜3a+1，若A=B，则$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{{a}^{2}+1=3a+1}\end{array}\right.$，无解；
②若1=3a+1时，A=∅，B=∅，A≠B；
③若1＞3a+1即a＜0时，A={x|3a+1＜x＜1}，
若A=B，则$\left\{\begin{array}{l}{a=3a+1}\\{{a}^{2}+1=1}\end{array}\right.$，无解．
综上所述，不存在实数a，使得A=B．

点评 本题考查了对数函数的定义域，考查了集合关系中的参数最值问题，考查了分类讨论思想，解答此题的关键是正确对B⊆A的情况分类，是易错题．