Question

在锐角△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin²B+

2

sinAsinC=sin²A+sin²C．
（1）求角B的大小；
（2）若a=3

2

，且最短边b=

10

，求边长c的值和△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由已知得b2+

2

ac=a2+c2，从而cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2 ac

2ac

=

2

2

，由此能求出B．
（2）由余弦定理，得：（

10

）²=c²+（3

2

）²-2c•3

2

cos

π

4

，由此能求出c和△ABC的面积．

解答： 解：（1）∵在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
且sin²B+

2

sinAsinC=sin²A+sin²C．
∴b2+

2

ac=a2+c2，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2 ac

2ac

=

2

2

，
∴B=

π

4

．
（2）由余弦定理，得：（

10

）²=c²+（3

2

）²-2c•3

2

cos

π

4

，
整理，得c²-6c+8=0，
解得c=4或c=2（舍）．
∴c=4，
△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×3

2

×4×

2

2

=6．

点评：本题考查角的大小的求法，考查边长的求法，考查三角形面积的求法，解题时要注意正弦定理和余弦定理的合理运用．