Question

10．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为$\frac{π}{6}$，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明EF⊥平面PAD；
（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）求出向量坐标，利用直线和平面所成角的定义和关系进行求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD，（2分）
又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（3分）
（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，
PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，（4分）
如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：
∴O（0，0，0）A（0，-2，0）B（4，-2，0）C（4，2，0），
D（0，2，0），G（4，0，0），$P（0，0，2\sqrt{3}）$，E（0，-1，$\sqrt{3}$）$F（2，-1，\sqrt{3}）$$\overrightarrow{EF}=（2，0，0），\overrightarrow{EG}=（4，1，-\sqrt{3}）$，
设平面EFG的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，$\left\{{\begin{array}{l}{2x=0}\\{4x+y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，
∴$\overrightarrow m=（0，\sqrt{3}，1）$，
（6分）
又平面ABCD的法向量为$\overrightarrow n=（0，0，1）$，（7分）
设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{m•}\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{2}$，
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为$\frac{π}{3}$．（9分）
（Ⅲ）设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}，λ∈[{0，1}]$，$\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{GP}+λ\overrightarrow{PD}$，
∴$\overrightarrow{GM}=（-4，2λ，2\sqrt{3}（1-λ））$，（10分），
∴$sin\frac{π}{6}=|{cos\left?{\overrightarrow{GM}，\overrightarrow m}\right＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{GM}•\overrightarrow m}|}}{{|{\overrightarrow{GM}}|•|{\overrightarrow m}|}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{16+4{λ^2}+12{{（1-λ）}^2}}}}=\frac{1}{2}$，（12分）
即2λ²-3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．（13分）

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定以及二面角和线面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．