Question

15．如图所示，MN为⊙O的直径，PD、PN是切线，切点分别为D和N．
（1））求证：MD∥OP；
（2）若⊙O的半径等于2，求MD•OP的值．

Answer 1

分析 （1）连结DN、OD，利用PD、PN是切线，所以DN⊥OP，MN为⊙O的直径，所以DM⊥DN，可得∠DOP=∠MDO，即可证明MD∥OP；
（2）证明Rt△NMD～Rt△POD，可得$\frac{MD}{OD}=\frac{NM}{PO}$，即可求MD•OP的值．

解答 （1）证明：如图，连结DN、OD，
因为PD、PN是切线，所以DN⊥OP，
因此∠DOP+∠ODN=90°，
又因为MN为⊙O的直径，所以DM⊥DN，
因此∠MDO+∠ODN=90°，
于是∠DOP=∠MDO，故MD∥OP．
（2）解：由于∠NMD=∠POD，∴Rt△NMD～Rt△POD，
于是$\frac{MD}{OD}=\frac{NM}{PO}$，因此MD•OP=NM•OD=4×2=8．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查直径所对的角为圆周角，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．