Question

设函数f（x）=

1

x

+2，已知f（x）的图象与y=g（x）的图象关于直线y=x+1对称．
（1）求g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：f（x）-2a≥0（其中a是常数）．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，设P（x，y）为y=g（x）图象上任意一点，然后，求解点P关于直线y=x+1的对称点p'，最后借助于函数f（x）的解析式，确定函数g（x）的解析式；
（2）先化简给定的解析式，然后，针对a的取值情况进行讨论，注意讨论时，“不重不漏”．

解答： 解．（1）设（x，y）为y=g（x）图象上任意一点，
∵f（x）的图象与y=g（x）的图象关于直线y=x+1对称，
∴x+1=

1

y-1

+2，整理得y=

x

x-1

，即g（x）=

x

x-1

 （x≠1_^） 
（2）不等式f（x）-2a≥0?

(2a-1)x-2a

x-1

≤0，
①当a＞

1

2

时，不等式的解集为（1，

2a

2a-1

]，
②当a=

1

2

时，不等式的解集为（1，+∞），
③当a＜

1

2

时，不等式的解集为（-∞，

2a

2a-1

]∪（1，+∞），
综上所述，①当a＞

1

2

时，不等式的解集为（1，

2a

2a-1

]，
②当a=

1

2

时，不等式的解集为（1，+∞），
③当a＜

1

2

时，不等式的解集为（-∞，

2a

2a-1

]∪（1，+∞）．

点评：本题重点考查了函数的解析式的求解方法，函数的性质及其灵活应用，注意分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．