Question

设函数f（x）=alnx+

b

x

-2a，若对于任意的a∈（1，4），x∈（0，+∞）总有f（x）＞0，则最小的正整数b=

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：求导数，确定函数的单调性，可得f（x）≥（

b

a

）=a[ln（

b

a

）-1]＞0，即可求出最小的正整数

解答： 解：∵f（x）=alnx+

b

x

-2a，
∴f′（x）=

ax-b

x2

，a属于（1，4）
x＞

b

a

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x＜

b

a

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）≥（

b

a

）=a[ln（

b

a

）-1]＞0，
∴ln（＜

b

a

）-1＞0，
∴ln（＜

b

a

）＞1，
∴

b

a

＞e，
∴b＞ae，∴b≥4e
∴最小的正整数b=11．
故答案为：11．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．