Question

1．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是棱BC₁上一点，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{D{C}_{1}}$，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{AD}$，则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{D{C}_{1}}$，可得$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}$×$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}）$=$\frac{2}{3}$$（\overrightarrow{B{B}_{1}}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，代入$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{D{C}_{1}}$，∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}$×$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}）$=$\frac{2}{3}$$（\overrightarrow{B{B}_{1}}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$．
故答案为：=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．