Question

11．在Rt△ABC中，已知a＜b＜c，且a、b、c成等比数列，则a：c等于（　　）

• A． 3：4
• B． （$\sqrt{5}$-1）：2
• C． 1：（$\sqrt{5}$-1）
• D． $\sqrt{2}$：1

Answer 1

分析 利用△ABC是直角三角形，a、b、c成等比数列的关系，找到a，b，c的关系，消去b，化成“齐次“方程求解

解答 解：∵△ABC是直角三角形，a＜b＜c，
∴a²+b²=c²．
又∵a、b、c成等比数列
∴b²=ac．
所以有：a²+ac=c²
?c²-a²=ac
?$\frac{c}{a}-\frac{a}{c}=1$
设$\frac{a}{c}=x，（x＞0）$
则有：$\frac{1}{x}-x=1$
解得：$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
所以：$a：c=（\sqrt{5}-1）：2$
故选：B．

点评 本题考查了三角形的计算以及构造齐次方程的思想求解．属于基础题．