Question

14．如图，有一块荒地，形状为一个角，把这个角记为∠A（角的两边足够长），经测量∠A=120°，现在分别在∠A的两边选取P，Q两点，且PQ=200米．
（1）若把△APQ修建成一游乐场，如何修建才能使游乐场△APQ面积最大？求出最大值．
（2）若在△APQ边缘铺设小道（宽度忽略不计），求小道的总长度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AP=x，AQ=y，则由余弦定理和基本不等式可得xy≤$\frac{20{0}^{2}}{3}$，再由三角形定点面积公式和不等式的性质可得；
（2）由（1）和基本不等式整体可得可x+y的不等式，解不等式可得范围，再由三角形的三边关系可得x+y的范围，可得x+y+200的范围．

解答 解：（1）设AP=x，AQ=y，则由余弦定理可得200²=x²+y²-2xycos120°
=x²+y²-2xy（-$\frac{1}{2}$）=x²+y²+xy≥2xy+xy=3xy，故xy≤$\frac{20{0}^{2}}{3}$，
∴△APQ面积S=$\frac{1}{2}$xysin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{20{0}^{2}}{3}$=$\frac{10000\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当x=y=$\frac{200\sqrt{3}}{3}$时，S取最大值$\frac{10000\sqrt{3}}{3}$；
（2）由（1）可得200²=x²+y²+xy=（x+y）²-xy，
∴（x+y）²-200²=xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（x+y）²，
解不等式可得x+y≤$\frac{400\sqrt{3}}{3}$，
再由三角形的三边关系可得x+y＞200，
∴小道的总长度为x+y+200＞400且x+y+200≤$\frac{400\sqrt{3}}{3}$+200
故小道的总长度的取值范围为（400，$\frac{400\sqrt{3}}{3}$+200]

点评 本题考查解三角形的实际应用，涉及基本不等式求最值和整体思想，属中档题．