Question

如图，平行四边形ABCD中，

AB

=

a

，

AD

=

b

，H，M是AD，DC的中点，BF=

1

3

BC，
（1）以

a

，

b

为基底表示向量

AM

与

HF

；
（2）若|

a

|=3，|

b

|=4，

a

与

b

的夹角为120°，求

AM

•

HF

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）根据条件，运用向量的加法和减法遵循的三角形法则，以及向量的中点表示，即可得到；
（2）先求出向量的数量积

a

•

b

，再由（1）得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积．

解答： 解：（1）∵平行四边形ABCD中，

AB

=

a

，

AD

=

b

，H，M是AD，DC的中点，BF=

1

3

BC，
∴

AM

=

AD

+

DM

=

AD

+

1

2

DC

=

AD

+

1

2

AB

=

b

+

1

2

a

，

HF

=

AF

-

AH

=

AB

+

BF

-

1

2

AD

=

a

+

1

3

b

-

1

2

b

=

a

-

1

6

b

；
（2）∵|

a

|=3，|

b

|=4，

a

与

b

的夹角为120°，
∴

a

•

b

=3×4×cos120°=-6，
∴

AM

•

HF

=（

b

+

1

2

a

）•（

a

-

1

6

b

）=

1

2

a

2-

1

6

b

2+

11

12

a

•

b

=

1

2

×9-

1

6

×16+

11

12

×(-6)=-

11

3

．

点评：本题考查向量的运算：加减、数乘及数量积，考查基本的运算能力，属于基础题．