Question

已知f（t）=-sin²t+sint+a．
（Ⅰ）若方程f（t）=0有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当t∈R时，1≤f（t）≤

17

4

，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得sin²t-sint=a 有解，根据-1≤sint≤1，利用二次函数的性质求得a的范围．
（Ⅱ）根据f（t）=-(sint-

1

2

)2+a+

1

4

，-1≤sint≤1，求得 a-2≤f（t）≤a+

1

4

．再根据1≤f（t）≤

17

4

，可得 

a+ 1 4 ≤ 17 4 a-2≥1

，由此求得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（t）=-sin²t+sint+a=0有解，即sin²t-sint=a 有解，
令g（t）=sin²t-sint=(sint-

1

2

)2-

1

4

，∵-1≤sint≤1，
∴a∈[-

1

4

，2]．
（Ⅱ）∵当t∈R时，1≤f（t）≤

17

4

，f（t）=-(sint-

1

2

)2+a+

1

4

，-1≤sint≤1，
∴a-2≤f（t）≤a+

1

4

，∴

a+ 1 4 ≤ 17 4 a-2≥1

，求得 3≤a≤4，
故要求的实数a的取值范围为[3，4]．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．