Question

已知函数f（x）=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

an-1an

（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若S_n＜

m-2004

2

对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得an+1=f(

1

an

)=

2+an

3

=an+

2

3

，由此能求出an=

2

3

n+

1

3

．
（2）当n≥2时，b_n=

1

an-1an

=

1

( 2 3 n- 1 3 )( 2 3 n+ 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，当n=1时，b₁=3，代入上式成立，由此利用裂项求和法结合已知条件得到

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

m-2004

2

对一切n∈N^*成立，由此能求出最小正整数m为2013．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a₁=1，
∴an+1=f(

1

an

)=

2+an

3

=an+

2

3

，
∴{a_n}是首项为1，公差为

2

3

的等差数列，
∴an=

2

3

n+

1

3

．
（2）当n≥2时，
b_n=

1

an-1an

=

1

( 2 3 n- 1 3 )( 2 3 n+ 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
当n=1时，b₁=3，代入上式成立，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

9

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

9

2

(1-

1

2n+1

)，
∵S_n＜

m-2004

2

，∴

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

m-2004

2

对一切n∈N^*成立，
又

9

2

(1-

1

2n+1

)沿n递增，且

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

9

2

，
∴

9

2

≤

m-2004

2

，∴m≥2013，
∴最小正整数m为2013．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的最小正整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．