Question

如图所示，有一具开口向上的截面为抛物线型模具，上口AB宽2m，纵深OC为1.5m．
（l）当浇铸零件时，钢水面EF距AB 0.5m，求截面图中EF的宽度；
（2）现将此模具运往某地，考虑到运输中的各种因素，必须把它安置于一圆台型包装箱内，求使包装箱的体积最小时的圆台的上、下底面的半径．
V_圆台=

1

3

πh（r₁²+r₂²+r₁r₂），r₁，r₂为上、下底面的半径，h为高，参考数据

4	3

≈

4

3

．

Answer 1

考点：抛物线的应用,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）建立坐标系，设抛物线的方程为y=ax²-

3

2

．将B（1，0）代入，求出抛物线的方程，即可求截面图中EF的宽度；
（2）求出过点M的切线方程，进而可得圆台的体积，利用基本不等式求最值，即可得出结论．

解答： 解：（1）以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，设抛物线的方程为y=ax²-

3

2

．
将B（1，0）代入可得a=

3

2

，
∴y=

3

2

x²-

3

2

，
令y=-

1

2

，可得x=±

6

3

，
∴|EF|=

2 6

3

m；
（2）设抛物线上一点M（t，

3

2

t²-

3

2

）（t＞0），
∵y=

3

2

x²-

3

2

，
∴y′=3x，
∴过点M的切线方程为y-（

3

2

t²-

3

2

）=3t（x-t），
令y=0，得x₁=

1+t2

2t

，即上底半径为

1+t2

2t

；
令y=-

3

2

，得x₂=

t

2

，即下底半径为

t

2

，
故V=

1

8

π（3t2+

1

t2

+3）≥

1

8

π(2

3

+3)
当且仅当3t²=

1

t2

．即t=

1

4 3

≈

3

4

时，圆台的体积最小，圆台的上、下底面的半径分别为

25

24

，

3

8

．
∴包装箱的体积最小时的圆台的上、下底面的半径分别为

25

24

，

3

8

．

点评：本题考查抛物线的应用，考查圆台的体积，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．