Question

已知f（x）=x³+ax²-a²x+2
（Ⅰ）如果函数f（x）的单调递减区间为（-

1

3

，1），求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1的解集为P，且（0，+∞）?P，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（I）求出f（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．
（II）求出f（x）的导数根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．．
（III）求出不等式，分离出参数a，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．

解答： 解：（I）f′（x）=3x²+2ax-a²
由∵函数f（x）的单调递减区间为（-

1

3

，1），
∴3x²+2ax-a² ＜0的解是（-

1

3

，1），
即3x²+2ax-a² =0的两根分别是-

1

3

，1，
则-

1

3

+1=-

2a

3

=

2

3

，得a=-1．
∴f（x）=x³-x²-x+2．
（II）由（Ⅰ）知：f′（x）=3x²+2ax-a² =（x+a）（3x-a），
由f′（x）=（x+a）（3x-a）=0，解得x=-a或x=

a

3

．
若a＞0，则由f′（x）＞0得x＞

a

3

或x＜-a，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

，此时函数单调递减，
若a＜0，则由f′（x）＞0得x＞-a或x＜

a

3

，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得

a

3

＜x＜-a，此时函数单调递减，
即a＞0时，函数的单调增区间为（-∞，-a）和（

a

3

，+∞），单调递减区间为（-a，

a

3

）．
a＜0时，函数的单调增区间为（-∞，

a

3

）和（-a，+∞），单调递减区间为（

a

3

，-a）．
（III）∵2xlnx≤f′（x）+a²+1的解集是P，
即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立，
即a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

对x∈（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，
则h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
由h′（x）=0，得x=1或x=-

1

3

（舍），
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值-2
∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围，综合性较强，有一定的难度．