Question

“过原点的直线l交圆x²+y²=r²于A，B两点，点P为圆上异于A，B的动点，若直线PA，PB的斜率均存在，则它们之积是定值-1”．类比圆的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线l交椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）于A，B两点，点P为椭圆上异于A，B的动点，若直线PA，PB的斜率均存在，则它们之积是定值

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：探究型,推理和证明

分析：由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质．

解答： 解：由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质，即k_PM•k_PN=-

b2

a2

，
证明如下：设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），进而可知

m2

a2

+

y2

b2

=1，
又设点P的坐标为（x，y），
 则k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

∴k_PM•k_PN=

y2-n2

x2-m2

，
将y²=b^2_（1-

x2

a2

），n²=b²（1-

m2

a2

）代入得k_PM•k_PN=-

b2

a2

．
故答案为：-

b2

a2

．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．