Question

三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．
（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若PA=

6

，AC=

3

，PB与底面ABC成60°角，E，F分别是PB与PC的中点，S是线段EF上任意一动点（可与端点重合），求多面体SABC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得PA⊥BC，由AB⊥BC，得BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC．
（2）由PB与底面ABC成60°角，知∠PBA=60°，PA=

6

，由E、F分别是PB与PC的中点，EF∥面ABC，由此利用等积法能求出多面体SABC的体积．

解答： （1）证明：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB
而BC?面PBC中，
∴面PAB⊥面PBC．（5分）
（2）解：PB与底面ABC成60°角，
即∠PBA=60°，PA=

6

，（6分）
在Rt△PAC中，AB=

2

，又AC=

3

，
在Rt△ABC中，BC=1．（8分）
E、F分别是PB与PC的中点，
∴EF∥面ABC，（9分）
∴VS-ABC=VE-ABC=

1

3

×

1

2

AB×AC×

1

2

PA=

3

6

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．