Question

6．如图，四棱锥A-BCDE中，AB=BCC，BE=$\frac{1}{2}$CD．CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：面ADE⊥面ACD．

Answer 1

分析 （1）取AC中点M，连结FM，BM，利用中位线定理和平行公理证明四边形EFMB是平行四边形，得出EF∥BM，故而EF∥平面ABC；
（2）由CD⊥平面ABC得CD⊥BM，由AB=BC得AC⊥BM，故BM⊥平面ACD，于是EF⊥平面ACD，故而平面ADE⊥平面ACD．

解答 证明：（1取AC中点M，连结FM，BM，
∵F，M分别是AD，AC的中点，
∴FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，∵BE$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}CD$，
∴四边形EFMB是平行四边形，
∴EF∥BM，∵EF?平面ABC，BM?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∵CD⊥平面ABC，BM?平面ABC，
∴CD⊥BM
又CD?平面ACD，AC?平面ACD，CD∩AC=C，
∴BM⊥平面ACD，∵EF∥BM，
∴EF⊥平面ACD，∵EF?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACD．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，构造平行线是解决问题的关键，属于中档题．