Question

【题目】数列满足：对一切，有，其中是与无关的常数，称数列上有界（有上界），并称是它的一个上界，对一切，有，其中是与无关的常数，称数列下有界（有下界），并称是它的一个下界.一个数列既有上界又有下界，则称为有界数列，常值数列是一个特殊的有界数列.设，数列满足，，.

（1）若数列为常数列，试求实数、满足的等式关系，并求出实数的取值范围；

（2）下面四个选项，对一切实数，恒正确的是.（写出所有正确选项，不需要证明其正确，但需要简单说明一下为什么不选余下几个）

A. 当时， B. 当时，

C. 当时， D. 当时，

（3）若，，且数列是有界数列，求的值及的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）B；（3），.

【解析】

（1）利用列方程，根据方程有实数根，求得的取值范围.

（2）利用（1）的结论，判断出错误选项，由此得出正确选项.

（3）对分成两种情况进行分类讨论，根据的上界和下界，列不等式，由此求得的值和的取值范围.

（1）由于数列为常数列，所以，故，即，此方程有实数根，故，解得，即实数的取值范围是.

（2）由（1）可知，当数列为常数列时，实数的取值范围是，此时的值与有关，不一定大于，故ACD三个选项不正确，B选项正确.

（3） 依题意，大前提为：，

①当为常数列时，由（1）知，所以，，.

②当不是常数列时，由于，，故数列是单调递增数列.最小值为，设对一切，有，故（）.

i)当时，，所以，即，故，由于成立，故③成立.由④得，即存在实数使上式成立，故，而本题大前提是，所以.此时，所以.所以，即.

ii)当时，，故.

若，则，，即，则，，其判别式，故不存在使成立.

所以，此时，，即，故，⑤恒成立.对于⑥，由④的分析可知，，.所以，解得.

综上所述，，.