Question

已知函数f（x）=ax³-x²+bx+2（a，b，c∈R）且（a≠0）在区间（-∞，0）上都是增函数，在区间（0，4）上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求a取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）求导，令f'（0）=0即可得到答案．
（2）将b的值代入函数f（x）后再求导，根据导函数的正负与原函数的增减性的关系即可得到答案．

解答：解：（I）∵f'（x）=3ax²-2x+b，
又f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，在区间（0，4）上是减函数，
∴f'（0）=0，∴b=0．
（II）∵f（x）=ax³-x²+c，
得f'（x）=3ax²-2x，
由f'（x）=3ax²-2x=0，得x1=0，x2=

2

3a

.
∵f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，在区间（0，4）上是减函数，
则有a＞0，且

2

3a

≥4.∴0＜a≤

1

6

.

点评：本题主要考查根据导数的正负情况判断原函数的单调性的问题．即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．