Question

已知函数f（x）=ax³+x²-ax，其中a∈R，x∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
（3）已知b＞-1，如果存在a∈（-∞，-1]，使得函数h（x）=f（x）+f′（x）（x∈[-1，b]）在x=-1处取得最小值，试求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导数，求出切线斜率，切点坐标，即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，则3ax²+2x-a=0在区间（1，2）上有解，分离参数，求值域，即可得出结论；
（3）由h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，知h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，令?（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得，从而可得φ（b）≥0，由此能求出b的最大值．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³+x²-x，∴f′（x）=3x²+2x-1，
x=1时，f′（1）=4，f（1）=1，
∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0；
（2）∵f（x）=ax³+x²-ax，∴f′（x）=3ax²+2x-a
∵函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，
∴3ax²+2x-a=0在区间（1，2）上有解，
由3ax²+2x-a=0，可得a=

2x

1-3x2

，则a′=

2+6x2

(1-3x2)2

＞0，
∴a=

2x

1-3x2

在区间（1，2）上单调递增，
∴a∈（-1，-

4

11

）；
（3）由题意，g（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
据题知，h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax²+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
当x=-1时，不等式①成立；
当-1＜x≤b时，不等式①可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令φ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又φ（-1）=-4a＞0，故不等式②成立的充要条件是φ（b）≥0，
整理得：

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

在a∈（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b-3

b+1

≤1，
∴-1＜b≤

17 -1

2

，
∴实数b的最大值为

17 -1

2

．

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解，属于中档题．